El Teorema chino del resto es importante porque permite calcular congruencias con distintos módulos y de números grandes mediante la descomposición en factores primos. También, permite resolver sistema de congruencias.
Primero de todo, veamos el enunciado de este teorema:
Sean \(n_{1}, n_{2}, …, n_{k} \in \mathbb{N}\) tales que \(m.c.d(n_{i}, n_{j})=1, \forall i,j \) . Es decir los \(n_{i}\) son primos dos a dos (o coprimos).
Entonces existe una solución entera x del sistema de congruencias:
\(x \equiv a_{1} (n_{1}) \)
\(x \equiv a_{2} (n_{2}) \)
…
\(x \equiv a_{k} (n_{k}) \)
La solución x es única módulo \(N = n_{1}. n_{2}. n_{k} \)
El teorema chino del resto se puede expresar también en forma algebraica.
Sean \(n \in \mathbb{N}\) un entero y sea su factorización:
$$n=p_{1}^{r_{1}} … p_{n}^{r_{k}}$$
Entonces existe un isomorfismo entre \( \mathbb{Z}_{n}\) y \( \mathbb{Z}_{p_{1}^{r_{1}}} \oplus … \oplus \mathbb{Z}_{p_{1}^{r_{k}}} \)
Usamos a continuación el Teorema chino del resto para calcular congruencias
Ejemplo
Calculamos
\(2^{560} \equiv x (560) \)
Tenemos que
\(560 = 2.2.2.2.5.7 \).
entonces
\(2^{2} \equiv 0 (2) \)
\(2^{5} \equiv 2 (5) \)
\(2^{7} \equiv 2 (7) \)
Entonces, por el Teorema chino del resto existe algún x tal que
\(x \equiv ((2^{2}) ^{5}) ^{7} (2.5.7) \)
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