Divisibilidad. ¿Que es un número primo?
Hablamos de aritmética, es decir, en esta sección consideramos exclusivamente el conjunto \(\mathbb{N}\).
Decimos que un número a, divide a otro número b, cuando existe un número c tal que a multiplicado por c da como resultado b, es decir
$$ac = b$$
Se dice entonces que a es un divisor de b.
Por ejemplo: 2 divide a 10, ya que 2×5 = 10. En este caso, 2 es un dívisor de 10.
Un número primo es un número natural que no tiene divisores aparte de él mismo y la unidad. Ejemplo de estos son los números 3, 5, 17, …
Un número es compuesto es cualquier número natural que tenga al menos un divisor mayor que 1 y menor que él mismo, por ejemplo:, 4, 9, 15, …
Todo número natural puede ser representado por su producto de números primos. Por ejemplo:
$$ 100 = 2^{2}. 5^{2} $$
Así, de algún modo, los números primos se pueden usar para generar cualquier número del conjunto \(\mathbb{N}\), de ahí su importancia.
Además, dicha representación, es única salvo el orden como dice el teorema, recibe el nombre de descomposición en factores primos y queda recogido en el siguiente teorema.
Todo número natural puede descomponerse, de manera única salvo el orden, como producto de números primos.
A veces al conjunto de números primos se le denota por \(\mathbb{P}\). El siguiente teorema nos asegura que el conjuinto \(\mathbb{P}\) es infinito:
El conjunto de números primo es infinito.
La demostración de este hecho es sencilla, consiste en suponer que si el conjunto \(\mathbb{P}\) fuese finito, entonces sea \(\mathbb{P} = \{ p_{1}, p_{2},…, p_{n} \} \). una lista de todos los primos, tenemos que el producto de todos ellos sumado una unidad
\( { p_{1}.p_{2}…p_{n} + 1} \).
O bien es primo que no está en la lista o bien contiene, en su descomposición, un primo que no está en la lista, lo cual contradice que la lista de primos sea completa.
Distribución de los números primos
La distribución de los primos en el conjunto \( \mathbb{N} \) es una fuente de estudio desde hace siglos. Nunca se ha encontrado una fórmula que permita predecir cual será el valor del n-ésimo primo, sin embargo hay cierto orden dentro del caos como demuestra el hecho de que
\(\varphi (n) \mapsto \frac{n}{ln(n)}\) cuando \(n \mapsto \infty\)
Siendo \(\varphi (n) \) la llamada función de Euler, que se define como el número de primos menores que n.
Aplicaciones en criptografía
Los números primos se han puesto de moda con el uso de la criptografía en la seguridad para la protección de datos.
Algoritmos de clave pública sobre todo el criptosistema RSA basan su seguridad en el el concepto de números primos y en el problema de la factorización.
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