Integral de Riemann
La integral es la operación inversa de la derivada. Integrar es en realidad calcular una suma infinita y geometricamente para funciones de una variable, integrar es realizar un cálculo del área que queda bajo la gráfica de la función y el eje X.
Por ejemplo, si tomamos la función \(f(x)=sin x\)
Calcular la integral en un interval [a, b] como hemos dicho hacer una suma. Vamos a tomar algún h>0. con el que partimos (particionamos) el intervalo [a, b] en n+1 puntos así: $$a, a+h, a+2h, …, a+nh=b.$$
Llamamos
$$x_{k}=a+kh \; \; \; \forall k: 0 \leq k\leq n$$
Para cada intervalo $$I_{k}=[x_{k},\; x_{k+1}] \; \; \; \forall k: 0 \leq k\leq n $$ calculamos el máximo, y le llamamos \(I_{k}\):
$$M_{k}=max \{f(x): x \in I_{k}\}$$
análogamente, calculamos el mínimo sobre \(I_{k}\) y le llamamos:
$$m_{k}=min \{f(x): x \in I_{k}\}$$.
Nota importante: La continuidad de f sobre [a, b] nos garantiza que ambos, maxímo y mínimo existen y se alcanzan.
Entonces, tomamos dos rectángulos, ambos con la misma base \(I_{k}\), pero uno con altura \(M_{k}\) y el otro con altura \(m_{k}\).
El área del primer rectángulo es \(A_{k}\), y el área del segundo \(a_{k}\), así:
$$A_{k} = hM_{k}$$
$$a_{k} = hm_{k}$$
Finalmente tomamos la suma de las áreas:
$$S_{n}(f) = \sum_{k=0}^{n} A_{k} = \sum_{k=0}^{n} hM_{k} $$
$$s_{n}(f) = \sum_{k=0}^{n} a_{k} = \sum_{k=0}^{n} hm_{k} $$
Llamamos al primero La suma superior de f sobre [a, b], y Suma inferiora la segunda.
Nótese que \(\forall n \in \mathbb{N} \) se cunmple que
$$s_{n}(f) \leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq S_{n}(f)$$
La idea ahora es tomar el ínfimo de las sumas superiores y el supremo de las sumas superiores, eso nos dará la definición de integral de Riemann.
Sea f una función de variable real.
$$f:[a,b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$
f es integrable en el intervalo [a, b] si el ínfimo de las sumas superiores y el supremo de las sumas superiores coinciden:
$$sup \{s_{n}(f) : n \in \mathbb{N}\} = inf \{S_{n}(f) : n \in \mathbb{N}\}$$
Ese número es llamado integral de f sobre [a, b] y se denota
$$ \int_{a}^{b}f(x)dx $$
así:
$$sup \{s_{n}(f) : n \in \mathbb{N}\} = \int_{a}^{b}f(x)dx = inf \{S_{n}(f) : n \in \mathbb{N}\}$$
Nota 1 En realidad no es necesario dar condiciones a priori sobre f (acotada, continua, etc …). la integral puede definirse igualmente, después veremos condiciones para que tal integral exista.
Nota 2 Que f sea acotada, no es de hecho una condidicón necesaria (ni suficiente) para la existencia de la integral como veremos en el ejemplo 2.
Ejemplo 1
Sea
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt x}$$
en el intervalo \([0,1]\).
Nótese que
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt x} = x^{\frac{-1}{2}}$$
así
$$ \int_{0}^{1}x^{\frac{-1}{2}}dx = \left.\begin{matrix}x^{\frac{1}{2}}\end{matrix}\right|_{0}^{1}. = 1.$$
(Cierto, la integral viene con una constante, lo sé. Pero no es importante en este caso, para quien opine lo contrario, tomar el valo =0 para la constante.
En este caso, f no es acotada en [0,1] pero la integral existe.
Ejemplo 2
Sea
$$f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & x \in \mathbb{Q}\\ 0 & x \notin \mathbb{Q} & \end{matrix}\right.$$
En el intervalo \([0,1]\).
Esta función no es continua en ningún punto.
No es dificil probar que 1 es el valor de todas las sumas superiores y 0 es el valor de todas las sumas infereiores, por tanto no convergen, por tanto la integral no existe.
En este caso, f es acotada en [0,1] pero la integral no existe.
Para finalizar, mostramos un teorema de existencia de la integral.
Sea
$$f:[a, b]\subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$
Una función de variable real, contínua a trozos y acotada, entonces f es integrable en el intervalo [a,b], o sea existe el número
$$ \int_{a}^{b}f(x)dx $$
Nota 1: Continua a trozos quiere decir que f es continua excepto en un número finito de puntos del intervalo [a, b].
Nota 2: Que f sea acotada no es una condición necesaria como hemos mostrado en el ejemplo 1 (recordar que función \(f(x)=\frac{1}{\sqrt x}\) en el intervalo [0,1]). Tampoco es una condición suficiente como mostramos en el ejemplo 2, pero si es suficiente juntada a las condiciones del teorema.
Sea f
$$f:[a, b]\subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$
Una función continua, entonces f es integrable en el intervalo [a,b], es decir, existe el número
$$ \int_{a}^{b}f(x)dx $$
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