Definición de Grupo
Sea G un conjunto y +, una operación binaria definida en G.
Se dice que (G,+) es un Grupo si se verifica
- Asociativa: \( ((x+y)+z)=(x+(y+z)), \forall x,y,z \in G. \)
- Elemento neutro: \( \exists 0\in G : 0+x=x+0. \)
- Element simetrico (o inverso): \( \forall x \in G, \exists -x\in G : x+(-x) = (-x) + x = 0. \)
Se dice además que un grupo es conmutativo o abeliano si se verifica
$$ x+y=y+x, \forall x, y \in G. $$
Nota: a veces se añade la de ser G, cerrado para la operación +. Nosotros la damos por implícita aquí.
Ejemplos
- \( (\mathbb{Z}, +)\) es un grupo conmutativo o abeliano.
- \( (\mathbb{Q}, +)\) es un grupo conmutativo o abeliano. También \( (\mathbb{Q}^{*}, .)\)
- \( (\mathbb{R}, +)\) es un grupo conmutativo o abeliano. También \( (\mathbb{R}^{*}, .)\)
- \( (\mathbb{C}, +)\) es un grupo conmutativo o abeliano. También \( (\mathbb{C}^{*}, .)\)
- Dado un espacio vectorial V, entonces \( (\mathbb{V}, +)\) es un grupo conmutativo o abeliano.
Definición de subgrupo
Sea (G, +) un Grupo, sea \( S \subset G \). Se dice que S es un subgrupo de G si S con la operación «+» restringida a S es in Grupo.
Sea G un grupo y S un subconjunto de G, \(S\neq \varnothing\) entonces
S es un subgrupo de G \( \Leftrightarrow a.b^{-1} \in S, \forall a, b \in S \)
Demostración
\(\Rightarrow \) \(a, b \in S \Rightarrow b^{-1} \in S \Rightarrow a, b^{-1} \in S \Rightarrow a.b^{-1} \in S.\)
\(\Leftarrow \) \(\exists x \in S \Rightarrow 1.x = x \in S \Rightarrow 1 \in S \Rightarrow 1. x^{-1} \in S \Rightarrow 1 \in S \)
Cuando el grupo G es finito, el número de elementos de G es llamado orden de G y se denota por |G|. En este caso, hay un importante teorema llamado Theorema de Lagrange que vemos a continuación
Dado un grupo finito G y S un subrupo de G, entonces
\( |G| = n |S| , n \in \mathbb{N}\)
En otras palabras: en grupos finitos, el orden de un subgrupo divide al orden del grupo.
Importante: El recíproco del teorema de Lagrange no es cierto en general, es decir, dado m un divisor del orden de G, no existe necesariamente un subgrupo de G de orden m. Esta situación es diferente si m es primo, como veremos.
Corolario
Dado un grupo finito G. si el orden de G es primo, los únicos subgrupos de G son {1} y el propio grupo G.
Nota: a estos subgrupos se les llama subgrupos propios.
El siguiente teorema es un recíproco del teorema de Lagrange al que nos referíamos antes:
Dado un grupo finito G de orden n, y dado p primo tal que
\( p |n \) entonces existe S subrupo de G tal que \( |S| = p \)
Subgrupos generados
Todo subgrupo S de un grupo G, puede generar otro subgrupo por medio de operar sobre sus elementos. A este subgrupo se le denota por <S>, y se escribe
\(<S> = \{ x_{1}.x_{2}. … .x_{n} : x_{i} \in G \} \).
Definición de grupo finitamente generado
Dado un subconjunto finito S de un grupo G.
Si
\(<S> = G \)
Entonces se dice que G está finitamente generado.
Cuando S está formado por un único elemento, se dice que el subgrupo <S> es cíclico.
Sé el primero en comentar