Sea A un conjunto y +, ·, dos operaciones binarias definidas en A.
Se dice que (A, +, ·) es un Anillo si se verifica
- (A, +) es un grupo conmutativo o abeliano
- El producto es asociativo es decir:
$$ (x·y)·z=x·(y·z), \forall x,y,z \in A. $$ - El producto es distributivo respecto a la suma es decir: \(\forall x,y,z \in A \) se cumple
$$x·(y+z) = x·y + x·z$$ $$ (x+y)·z = x·z + y·z$$
Se dice además que el anillo es conmutativo si se verifica
$$ x · y=y · x, \forall x, y \in A. $$
Se dice además que el anillo es unitario si
$$ \exists e \in A : x · e = e · x = x, \; \forall x \in A. $$
Ejemplo 1
El Anillo \( (\mathbb{Z}_{4}, +, ·) \).
Es un anillo conmutativo y unitario.
Sea (A, +, ·) un anillo, se dice que un elemento \(x \in A\) es un divisor de cero si
$$x\neq 0$$
$$ \exists y \in A : x·y = 0, y\neq 0$$
Ejemplo 2
En el Anillo \( (\mathbb{Z}_{4}, +, ·) \). El elemento \( 2 \in \mathbb{Z}_{4} \) es un divisor de cero ya que
$$ 2 · 2 = 4 = 0 \; (4) $$
Ejemplo 3
En el Anillo \( ( \mathbb{Z}, +, ·) \). No tiene divisores de cero, ya que
$$ a · b = 0 \Rightarrow a=0\; ó\; b = 0$$
Sea (A, +, ·) un anillo, se dice que un elemento \(u \in A\) pertenece al conjunto de unidades de A si
$$ \exists x \in A : x·u = u·x = 1, $$
y se escribe
$$e \in U(A)$$
Otra forma de decirlo es que el conjunto de unidades de A es el conjunto de todos los elementos invertibles en A
Ejemplo 5
En el Anillo \( ( \mathbb{Z}, +, ·) \). El elemento -1 es una unidad ya que
$$ -1 · -1 = 1 \Rightarrow -1 \in U(\mathbb{Z})$$
Sea (A, +, ·) un anillo, se dice es un anillo de división si el conjunto de unidades de A es todo A excepto el 0, es decir
$$ \forall x \in A, \exists y \in A : x·y = y·x = 1, $$Es decir, todo elemento no nulo pertenece a las unidades de A.
Es decir, todo elemento no nulo es invertible en A.
Sea (A, +, ·) un anillo, se dice es un dominio de integridad si A es un anillo conmutativo, unitario y sin divisores de cero.
Sea (A, +, ·) un anillo, se dice es un cuerpo si es dominio de integridad si A y además es un anillo de división.
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