Sea f una función contínua,
$$\begin{matrix} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x \in \mathbb{R} \rightarrow y=f(x) \in\mathbb{R}\end{matrix}$$
El concepto de derivada se ocupa de la tasa o el ritmo de cambio de la función f en un punto \(x_{0}\) dado.
Para intentar verlo, tomamos primero un «pequeño incremento» a la derecha del punto \(x_{0}\). Con «pequeño incremento» en x queremos decir que tomamos algún pequeño número h>0 y un intervalo \((x_{0}, x_{0}+h)\) y lo denotamos por \( \triangle x\). La continuidad de la f garantiza que todo «pequeño incremento» en el eje X produce un «pequeño incremento» \((f(x_{0}), f(x_{0}+h))\) en el eje Y, lo denotamos por \( \triangle y\).
Ahora tomamos
$$\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{f(x_{0}+h) – f(x_{0})}{(x_{0}+h)-(x_{0})}=\frac{f(x_{0}+h) – f(x_{0})}{h}$$
Y ahora tomamos el límite cuando h tiende a 0.
En el siguiente gráfico interactivo se puede ver lo que estamos haciendo. No dude en arrastrar el punto \(x_{0}\) hasta donde quiera y deslizar el h hasta el tamaño que se quiera.
Sea f una función de variable real,
$$\begin{matrix} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;x \in \mathbb{R} \rightarrow y=f(x) \in\mathbb{R}\end{matrix}$$
Se dice que f es diferenciable en el punt \(x_{0}\) si el límite
$$\lim_{h \mapsto 0} \frac{f(x_{0}+h) – f(x_{0})}{h}$$
y es finito. En ese caso, al valor del límite se le llama derivada de f en \(x_{0}\) y se denota por
$$f'(x_{0})=\left.\begin{matrix}\frac{df(x)}{dx}\end{matrix}\right|_{x_{0}}$$
Si f tiene derivada en todos los puntos de un conjunto abierto \(U \subset \mathbb{R}\), la función resultante de calcular \(\frac{df(x)}{dx}\) en todo \(x \in U\) se denota por \(f'(x)\).
La derivada es como hemos dicho, la medida del ritmo de cambio de de la función f en \(x_{0}\). Pero hay también una interpretación geométrica e importante que veremos a continuación. Si tomamos la recta secante a f pasando por los puntos \((x_{0}, f(x_{0}))\) y\((x_{0}, f(x_{0}+h))\), como en el gráfico anterior. Podemos hacer h tender a cero, entonces esta recta secante converge a la recta tangente a f en el punto \((x_{0}, f(x_{0}))\) (ver el gráfico interactivo arriba).
Según vamos aproximando la recta secante tiene como pendiente el valor
$$\frac{f(x_{0}+h) – f(x_{0})}{(x_{0}+h)-(x_{0})}=\frac{f(x_{0}+h) – f(x_{0})}{h} $$
El límite de este valor es precisamente la derivada. Así podemos concluir que la derivada de una función en un punto es una medida de la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.
Ejemplo
Sea
$$f(x)=x^{2}$$
Entonces
$$f(x+h)=(x+h)^{2} = (x^{2}+h^{2}+2xh)$$
Así tenemos
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{x^{2}+h^{2}+2xh-x^{2}}{h}=\frac{h^2+2xh}{h}=h+2x$$
Tomando el límite cuando h tiende a 0
$$\lim_{h \mapsto 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} = \lim_{h \mapsto h} h+2x = 2x $$
Por tanto
$$\frac{d(x^2)}{dx}=2x$$
La derivada es un concepto fundamental en el análisis. Los genios creadores que establecieron este importante concepto fueron Leibnitz y Newton en el siglo XVII. La derivada ha permitido el progreso en innumerables ramas de las ciencias, ingenierias, economia, etc … Sin duda, la derivada es uno de esos conceptos sin el cual no el progreso actual no podría darse. En matemáticas puras, también es un principio para muchos otros conceptos.
Ejemplo
Lets
$$f(x)=|x|$$
Note que f puede ser definida también como
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}x \;\;\;\; x>0\\-x \;\;\;\; x\leq0 \end{matrix}\right.$$
Entonces
$$f'(x)=\left\{\begin{matrix}1 \;\;\;\; x>0\\-1 \;\;\;\; x\leq0 \end{matrix}\right.$$
La derivada f'(x), no es continua en x=0. Entonces se puede decir que f no tiene derivada o bien que f no es diferenciable en el punto x=0.
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