Diagonalización de matrices

Dado el endomorfismo:

\( \begin{matrix}
F:V\rightarrow V &
\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \in V \rightarrow F(x) = Ax\in V
\end{matrix} \)

Con V espacio vectorial de dimensión n>1 sobre el cuerpo Κ.

Ya hemos visto que para cada endomorfismo existe una matriz de dimensión nxn tal que

F(v) = Av

Dos matrices, A y B sobre el cuerpo K se dice que son semejantes si existe una matriz, también sobre el cuerpo K tal que

\( B=PAP^{-1} \)

Entonces una matriz A, es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal.

El polinómio característico de esta matriz se descompone en k raices \( \lambda_j \), cada una de ellas con multiplicidad (algebraica) \( m_k \) y tales que

\( \sum_{j=1}^{k}m_{j}\leq n \)

Es decir, la suma de las multiplicidades (algebraicas) es menor o igual que la dimensión del espacio V.

Si se tiene que si cada autovalor \( \lambda_j \) genera un autoespacio \( E(\lambda_{j}) \) con dimensión igual a la multiplicidad algebráica del autovalor, esto es con dimensión \( m_k \). En este caso A es una matriz diagonalizable (y también se dice que la aplicación F es diagonalizable).

En caso contrario, la suma de las dimensiones de los autoespacios generados por cada autovalor es menor que n, es decir, las bases de autovectores no llenan todo el espacio V. O dicho de otro modo alguno de los autoespacios \( E(\lambda_{j}) \) tiene dimension menor que la multiplicidad algebraica del autovalor. En este caso, la matriz no es diagonalizable pero sí es posible encontrar una base de V donde la matriz se expresa en una forma llamada canónica de Jordán.